[微積] ln|x|微分，x<0 的疑問

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作者 yiting428

時間 2019-04-27 00:59:52

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大家好，如題我們知道當x<0時 d d 1 1 －－ln|x| = －－ln(-x) = －－．(-1) = －－ dx dx -x x 但是我如果隨便設一個x，例如-2 那這樣微分結果不就變-1/2 可是從ln的函數圖形可以知道不可能有負斜率請問我的邏輯是哪邊出錯或沒考慮到？謝謝大家 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.169.202.70 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1556297997.A.D72.html

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推 Vulpix ln。abs 左半支的斜率都是負的呀？ 04/27 01:02 1F

推 silvermare 是ln|x|的函數圖形 04/27 01:24 2F

推 SP500StrongB 你應該只畫了一般右邊的圖 04/27 01:54 3F

是的應該說課本上一開始先定義了ln(x), x>0 並且附上y=1/x（第一象限）的圖和y=ln(x)的圖（右半邊）然後就沒了所以我對於x<0的意義感到非常困惑我後來上網找到了所謂左半邊的圖並試著從左半邊的圖去反思它的意義 https://i.imgur.com/Efs6un7.png

我的想法是對數的定義域必定恆正因此對於x在左半邊時強迫加上負號使得函數值與右半邊的圖相同請問我這樣想正確嗎？

※ 編輯: yiting428 (1.169.202.70), 04/27/2019 02:40:54

推 Vulpix 不正確(但很普遍)。因果關係不對。 04/27 02:45 4F

→ Vulpix 如果你的課本用 ∫_1^x dt/t 來定義 ln(x)，那你應 04/27 02:48 5F

→ Vulpix 那你應該從 ∫_{-1}^x dt/t 來思考，首先 x>0 是沒 04/27 02:50 6F

→ Vulpix 有意義的，因為會跨過 1/x 的奇點(x=0)。x=0 也一樣 04/27 02:52 7F

→ Vulpix 無意義，所以僅考慮 x<0。而從積分的定義，顯然 04/27 02:53 8F

→ Vulpix ∫_{-1}^x dt/t = ∫_1^{-x} ds/s，其中 s=-t。 04/27 02:56 9F

→ Vulpix 所以 ∫_{-1}^x dt/t = ∫_1^{-x} ds/s = ln(-x)。 04/27 02:56 10F

→ Vulpix 因此 ∫dx/x 這個不定積分，在 x>0 時會積出 ln(x) 04/27 02:59 11F

→ Vulpix +C，而在 x<0 時則是 ln(-x)+D，其中 C、D 都是常數 04/27 03:00 12F

→ Vulpix 幾乎在所有的用途上，都不會遇到跨越 x=0 的積分， 04/27 03:01 13F

→ Vulpix 所以 C、D 可能不同這件事顯得很不重要，都寫成 C。 04/27 03:02 14F

→ Vulpix 所以積分表上的公式才是：∫dx/x = ln|x| + C。 04/27 03:03 15F

謝謝V大的詳細說明從您的說明我清楚了∫dx/x在x分別為正負時的意義另外，我原本想請教的是y=ln(x), x<0的意義答案應該是沒有意義，對嗎？因為從定義已經告訴我們 ln(x)的條件就是x>0 而且從指數和對數的意義也可以知道 ln(x), x<0是不存在的若是非得討論x<0，則必須掛絕對值也因此得到ln(-x)這個左半邊的函數圖形請問這樣理解正確嗎？感覺這問題很像廢話==

※ 編輯: yiting428 (1.169.202.70), 04/28/2019 00:21:41

推 wohtp 問題仍然是你怎麼定義log這個函數。你現階段碰得到 04/28 01:13 16F

→ wohtp 的定義應該都不能拉到 x < 0 沒錯。 04/28 01:14 17F

推 Vulpix 目前 ln(負數) 是不存在沒錯。不過有一天你有可能 04/28 01:15 18F

→ Vulpix 會需要，那時候自然會去定一個符合當下需求的定義。 04/28 01:16 19F

→ wohtp 複變就有把log推廣到整個複數平面。當然，定義域不 04/28 01:17 20F

→ wohtp 同就不是同一個函數了。所以其實我應該改一下我的第 04/28 01:17 21F

→ wohtp 一句話。問題是：你說的是哪個log? 04/28 01:17 22F

→ wohtp 現在你這個log只肯吃正實數，那是沒錯的。 04/28 01:19 23F

→ Vulpix 其實還是 ∫_1^x dt/t 啦XD 只是積分路徑在複數平 04/28 01:20 24F

→ Vulpix 面上繞來繞去的而已。ln 的本質確實是 1/x 的反導 04/28 01:21 25F

→ Vulpix 函數。 04/28 01:21 26F

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