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Re: [代數] 哥德爾定理在數論真實的例子？
（代PO）朋友沒有PTT帳號，委託我代PO。原信如下：
雖然我沒有去查 Erdos 究竟指的為何，但我認為他說的可能是 Paris-Harrington 定理
或 Goodstein 定理。Paris-Harrignton 定理跟拉姆齊理論有關，而 Erdos 本身就是這
領域的人，所以可能知道。Erdos 也可能會知道 Goodstein 定理，因為定理與圖論有關
連，兩位證明者將問題轉化成圖論問題，將 Goodstein 序列比喻成九頭蛇，蛇頭被斬下
還會再長出新的蛇頭來，比原先多。此問題便在問海克利斯每次只能斬一個蛇頭，那麼他
能否有朝一日砍完所有蛇頭。(沒很熟兩個定理，所以有勞人進一步去查)
兩個定理都已經被證明單憑 Peano 算術系統證不出來，非得靠更強的證明系統如 ZFC 系
統才可證出。既然 ZFC 系統能證出來，假若 ZFC 系統沒有問題，不會不一致，那麼這兩
個定理所言為真（一階邏輯的健全性 soundness 所致）。這兩個命題為真，但是 Peano
算術系統證不出來，這便是哥德爾不完備的實例。
接下來我想討論 chemmachine 的說法，因為對我有些地方我不是很明白，所以可能有勞
chemmachine 說得詳細一點。另外我對某些說法不是很滿意，想要點出來討論一下。
自身不可證偽的資料有：連續統假設。哥德爾定理，羅素悖論。
我覺得說「自身不可證偽」不是很妥當。因為就我解讀，「偽」與「真假」有關，但證明
系統與真假無關，系統只是一堆符號的組合而已。我們所謂的證明就只是依照特定規則排
列符號而已，我們能排出或是排出，就僅此而已。證明無須牽扯真假，命題能否被證出與
命題是否真假需分別看待。命題有可能無法被證明或證明為否（取決於該證明系統形式如
何），但命題要不真要不就假。所謂的真假是後來所賦予，依一些共識賦予其意思。所以
我覺得說「自身不可證偽」不是很妥當。
以連續統假設 CH 為例。哥德爾便構造了一個滿足 ZF 公設的數學結構，而那數學結構滿
足連續統假設，所以根據一階邏輯的健全性（如果系統能證出語句 φ，那麼 φ 會在每
個滿足公設要求的結構都正確），ZF 無法證出 ~CH 。而哥德爾的學生柯亨便接手哥德爾
的工作，造出一個不滿足連續統假設的數學結構，證明 ZF 無法證出 CH（同樣跟健全性
有關）。連續統假設在每個數學結構要不真要不就假，ZF 系統的問題只是無法好好分開
這些結構，分成滿足、不滿足兩類，讓系統本身得以捕捉其中一類的特性就好。證明系統
也就因此無法證明 CH 或證明 ~CH 。
附註：其實到目前為止，我們還不知道 ZFC 的數學結構長的如何。雖然有些書會用 V 馮
紐曼宇宙指稱這個結構，但是事實上這個結構太大不是個集合，不滿足邏輯學家對 ZFC
數學結構的要求。如果我們真找到 ZFC 的數學結構，其實我們就證明了 ZFC 一致（可憑
一階邏輯的健全性得出這結論）。所以這個問題仍舊擱置著。至於哥德爾與柯亨所作只是
給出集合論宇宙的部份結構，而這結構便能滿足 ZFC 要求，並不是真的找到。現今這門
學問稱作 inner model theory。
此外，「自身不可證偽」對我而言有點不太清楚。然後您舉了連續統假設。哥德爾定理（
是指不完備定理嘛？），羅素悖論作為例子。我不太理解三者與前述間的關係。可能有勞
您再解釋一下。
連續統描述基數N^(j)<2^N 中間沒有其他基數，N^j和
2^j基本是遞迴數字系統。指數是由乘積遞迴定義而來
乘積由加法遞迴定義而來。
我不確定是否有其它書這樣寫，但我所讀的書(Enderton，Elements of Set Theory)並非
如定義：
https://imgur.com/kNpIRiq
老實說，我有點好奇怎麼用遞迴定義基數，因為「能夠遞迴」本身也要證明。以加法或乘
法的遞迴定義為例，Enderton 便是先證明有如是遞迴函數存在，再去定義其：
https://imgur.com/MYgRABw
https://imgur.com/ArbfeZV
https://imgur.com/6doOKzC
Enderton 便在書上（138頁，Cardinal Arithmetic 一節）寫道：「The approach（用遞
迴定理定義運算） is unsuitable here.」 就我解讀，用遞迴定義基數運算會有些問題
，因為這樣需證明有如是遞迴函數存在。而這函數不單只是自然數上的遞迴函數而已，它
還得是超限遞迴函數（transfinite recursion function）。但除非能排序，否則沒有道
理談遞迴。然而就我所知，超限遞迴本身僅會用在序數上，不會用於基數。
我有三個問題有待解惑：「自身不可證偽」的明確意思為何；連續統假設、哥德爾定理、
羅素悖論與「自身不可證偽」的關係為何；能否用遞迴定義基數。有勞您能回答這些問題
了。
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