[機統] 期望值

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作者 a4695200 (姿)

時間 2024-08-11 07:35:25

留言 20 ( 6推 0噓 14→ )

已知r.v.X恆正，n為N，試証： (1) sqrt(E[x]) >= E[sqrt(X)] (2) E[ X^(-n) ] >= E[X]^(-n) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.227.135.41 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1723332927.A.F76.html

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推 arrenwu 確認一下，不能使用"If f is concave, then f(E[X]) 08/11 08:23 1F

→ arrenwu >= E[f(X)]" 這個性質嗎？ 08/11 08:24 2F

不行ㄟ

※ 編輯: a4695200 (36.227.135.41 臺灣), 08/11/2024 09:52:39

推 arrenwu 不能引用 Jensen's Inequality 的話，這問題會變成 08/11 10:02 3F

→ arrenwu 碰觸滿底層的分析問題喔？ 08/11 10:02 4F

所以才上來問

推 cuylerLin 那就重頭證一次 Jensen 不就好了XD 08/11 12:09 5F

※ 編輯: a4695200 (36.227.135.41 臺灣), 08/11/2024 13:32:32

推 arrenwu ok 那就是：你看Jensen's Inequality 怎麼被證明的 08/11 14:59 6F

→ arrenwu 然後證明Jensen's Inequality 08/11 14:59 7F

推 Vulpix 這邊就Hoelder's inequality吧。第一個甚至只是很 08/11 17:11 8F

→ Vulpix 簡單的柯西。 08/11 17:11 9F

→ Vulpix 第一題，左右式的平方差=Var(sqrt(X))。 08/11 17:13 10F

→ yhliu 第一個不等式, 用 E[X^2] > (E[X])^2 08/12 08:49 11F

→ yhliu 第二題,若 n 為正整數, n > 1 時, 將 X^n-a^n 分解 08/12 09:14 12F

→ yhliu 成 (X-a) sum_{k=0~n-1} X^k a^(n-1-k) = (X-a)g(X) 08/12 09:15 13F

→ yhliu X > a 時 g(x) > g(a); X < a 時 g(X) < g(a) 08/12 09:16 14F

→ yhliu 故 X^n - a^n >= (X-a)g(a) = na^(n-1)(X-a) 08/12 09:17 15F

→ yhliu 取 a = E[X] 08/12 09:17 16F

→ yhliu 事實上, n 為正實數, n>1, f(x) = x^n >=(x-a)f'(a) 08/12 09:22 17F

→ yhliu 更一般就是 f 為 convex 的情形, 即 Jensen's ineq. 08/12 09:23 18F

推 cuylerLin 突然在想第二題好像也可以用第一題的結果，兩邊平方 08/12 17:23 19F

→ cuylerLin ，取倒數，這樣就是針對所有偶數成立了 08/12 17:23 20F

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