[機統] 多事建交級和聯集之機率與上下界

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作者 saltlake (SaltLake)

時間 2024-08-17 11:26:52

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請問如何表達多事件交集和聯集的機率和上下界? 給定事件 A(i), i = 1 to n 兩事件聯集的機率: P( A(1) U A(2) )= P(A(1))+P(A(2))-P(A(1) ^ A(2)) 但是多事件的情況呢? P( U A(i), i = 1 to n) = ? 如果是上述機率的上界或者下界呢? ooo <= P( ^A(i), i = 1 to n) <= xxx 倘若是交集的狀況呢? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.36.194.30 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1723865214.A.456.html

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推 arrenwu P( U A(i), i = 1 to n) 常用的上界 Sum_i P(A(i)) 08/17 11:39 1F

→ arrenwu 常用的下界我想得到的有 max_i P(A(i)) 08/17 11:39 2F

感謝 :) 上面是聯集的，交集的有嗎?

※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/17/2024 13:18:23

→ mantour 聯集不就是排容 08/17 14:07 3F

推 mantour ^機率 08/17 14:09 4F

推 LPH66 由 DeMorgan 交集取補等於補的聯集, 然後代一樓 08/17 14:13 5F

推 arrenwu 交集的話，通常上界用的是 min_i P(A(i)) 08/17 15:02 6F

→ arrenwu 而交集不太會有下界 08/17 15:03 7F

推 kh749 有種包法隆尼聯合信賴區間法的感覺 08/17 20:10 8F

推 kh749 搜搜看Bonferroni inequality是不是你要的 08/17 20:15 9F

交集如果都是獨立事件的話，總機率是連乘積。但是一般狀況呢?

※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/18/2024 01:09:09

→ yhliu Bonferroni 不等式是說多事件聯集之機率,不大於各 08/19 09:15 10F

→ yhliu 事件機率的和. 另多事件交集的機率,最小是0,最大 08/19 09:16 11F

→ yhliu 是各單一事件機率的最小值,這是很明顯,並且除非有像 08/19 09:18 12F

→ yhliu 相互獨立的附加條件否則無法改進的. 08/19 09:19 13F

→ yhliu 再者,多事件聯集的正確機率,可以用 "取捨原理" 計算 08/19 09:20 14F

→ yhliu P{聯集Ai) = sum P{Ai} - sum P{Ai交集Aj} +- ... 08/19 09:22 15F

→ yhliu 後面 "+-..." 是 + 所有3事件交集機率和 - 4事件... 08/19 09:24 16F

→ mantour y大，若兩事件AB交集的機率下界可以改進到 max(0 , 08/19 13:03 17F

→ mantour P(A)+P(B) - 1)，不知道多事件的時候有沒有辦法寫 08/19 13:04 18F

→ mantour 成類似的。 08/19 13:04 19F

聯集的情況︰ P( A(1) U A(2) ) = P(A(1))+P(A(2))-P(A(1) ^ A(2)) P(A(1) ^ A(2)) >=0 => P( A(1) U A(2) ) <= P(A(1))+P(A(2)) 等號於兩事件交集為空集合成立有上界交集的情況︰ P( A(1) U A(2) ) = 1-P( comp( A(1) U A(2) ) ) = 1-P( comp(A(1) ^ comp(A(2) ) => P( comp(A(1) ^ comp(A(2) ) = 1-P( A(1) U A(2) ) >= 1-( P(A(1))+P(A(2)) ) 有下界另外我們知道，獨立事件之聯集的機率是個事件機率的聯乘積。所以: P(comp(A(1)))*P(comp(A(2))) >= 1-1-( P(A(1))+P(A(2)) ) 但是獨立事件屬特殊情況，一般情況呢?

※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/19/2024 18:27:24

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