[中學] 看不懂這題數學歸納法的邏輯

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作者 oyasmy (oyasmy)

時間 2024-10-23 17:04:24

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https://web.evanchen.cc/exams/IMO-2021-notes.pdf 這個pdf的第4頁的問題一般的數學歸納法應該是已知n=1成立假設n=k成立若能證明n=k+1成立就得證可是這題的證法是已知n=1,n=2成立證明n-1的case成立證明n-2的case成立所以得證我的問題有二點 1.為什麼需要已知n=2成立? (而且n = 2 being easy to verify by hand.....?) 2.我猜它的邏輯是因為n-1是n-2的特例所以在n-2成立的前題下 n-1必成立所以得證 (但是這樣子的話就沒有必要特別去證n-1成立) 請問這題的證明邏輯是什麼呢? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.61.28.165 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1729674271.A.FBD.html

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[中學] 看不懂這題數學歸納法的邏輯

5 37 math oyasmy

2024-10-23 17:04:24

Re: [中學] 看不懂這題數學歸納法的邏輯

math mantour

2024-10-23 23:49:33

Re: [中學] 看不懂這題數學歸納法的邏輯

math oyasmy

2024-10-24 22:00:25

Re: [中學] 看不懂這題數學歸納法的邏輯

1 1 math mantour

2024-10-27 21:07:44

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→ freePrester 他的意思是，可以透過平移將其中一個或二個x刪除 10/23 17:13 1F

→ freePrester 結論會一樣，所以整體的結論與只有1或2個 x 相同 10/23 17:14 2F

→ oyasmy 感謝都不知道數學歸納法還可以這樣用 10/23 17:53 3F

→ oyasmy 而且而且n = 2 確實being easy to verify by hand 10/23 17:53 4F

→ freePrester 其實這不是數歸… 10/23 18:05 5F

推 LPH66 是數歸啊, 刪掉一或兩個變數就化歸成數量較少的 10/23 18:58 6F

→ LPH66 這裡的邏輯應該這樣說t 可能有這兩種狀況 10/23 18:58 7F

→ LPH66 狀況一時可化歸為 n-1 個, 狀況二時可化歸為 n-2 個 10/23 18:59 8F

→ LPH66 只要這兩個都成立那不管 t 是怎樣都能推得 n 個成立 10/23 18:59 9F

→ LPH66 那數歸邏輯用到少一跟少二, 所以基本狀況要證1和2 10/23 19:01 10F

→ LPH66 這就是為什麼要先證到 n=2 的原因 10/23 19:01 11F

→ oyasmy n-1和n-2其實都沒有證明不等式的方向只是證明了 10/23 20:38 12F

→ oyasmy 不等式的方向沒有改變然後induction這個字看起來 10/23 20:39 13F

→ oyasmy 是數學歸納法可是和一般的形式邏輯又不一樣 10/23 20:40 14F

推 PPguest 看L大的推文,我猜這裡的數歸是這樣的形式： 10/23 23:28 15F

→ PPguest 1. n=1, n=2 成立 10/23 23:29 16F

→ PPguest 2. 若 n=1,2,...,k-1皆成立時可推得n=k成立 10/23 23:30 17F

→ PPguest 則由數歸知對所有正整數都成立 10/23 23:31 18F

推 LPH66 對, 用到前兩項名義上是強數歸, 但強數歸跟一般只用 10/24 02:07 19F

→ LPH66 前一個的「一般」數歸其實只差一個名義而已 10/24 02:07 20F

→ LPH66 如果硬要套用到只用前一個的「一般」數歸上的話 10/24 02:09 21F

→ LPH66 技術上我們可以將「前 n 皆成立」另立成命題 10/24 02:10 22F

→ LPH66 經過一樣的邏輯證明「前 n+1 皆成立」命題成立 10/24 02:10 23F

→ LPH66 那對這個另立的命題而言用的數歸只有前一項 10/24 02:11 24F

→ LPH66 也就是雖然名義上仍然只是用「前一項推後一項」 10/24 02:11 25F

→ LPH66 但本質上我們其實是在用強數歸的「前X項推後一項」 10/24 02:12 26F

→ LPH66 回頭發覺我上面講的有點亂, 我想講的基本上是: 10/24 02:25 27F

→ LPH66 強數歸跟一般數歸的核心概念其實是一樣的 10/24 02:26 28F

→ LPH66 只用前一項跟用前面 X 項甚至全部 N 項只是形式差別 10/24 02:26 29F

推 ERT312 只要能從k的前幾個(包含k)推得k的下一個,都算是數學 10/24 12:28 30F

→ ERT312 歸納法 10/24 12:29 31F

推 ERT312 強數歸可看成一般數歸的變形威力都一樣 10/24 12:36 32F

→ ERT312 有一個威力比較強的是從所有小於k的情況推出k成立 10/24 12:38 33F

→ ERT312 這個可以用來證明所有well ordered set 10/24 12:39 34F

→ ERT312 一般數歸只能用在自然數 10/24 12:40 35F

→ ERT312 所有的自然數都可看成有限集所以數學歸納法又稱為 10/24 12:41 36F

→ ERT312 有限歸納法對比後者稱為超限歸納法 10/24 12:42 37F

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