Re: [中學] 看不懂這題數學歸納法的邏輯
※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言：
: ※ 引述《mantour (朱子)》之銘言：
: : 仔細看一下, 他的論證邏輯可以改寫成以下型式
: : (1) 容易驗證n=1和n=2成立
: : (2) 若n=k和n=k+1都成立, 則n=k+2也成立
: : (3) 根據數學歸納法得證
: : 怎麼證明(2)呢
: : 就是利用中間的lemma
: : 當 n=k+2時
: : 對任意x_1~x_(k+2)
: : 存在 a,b 屬於 {1~k+2}
: : 使得t=-(x_a+x_b)/2時
: : ΣΣ|x_i+x_j+ 2t| 有最小值
: : 此時
: : 右式 = ΣΣ|x_i+x_j+ 2*0| , i,j=1~k+2
: : >= ΣΣ|x_i-x_a + x_j-x_b|
: : 若 a=b, 不失其一般性設a=b=k+2
: : 右式 >= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+2
: : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+1
: : + Σ|x_i-x_(k+2) + x_(k+2)-x_(k+2)| , i=1~k+2
: : + Σ|x_(k+2)-x_(k+2) + x_j - x_(k+2)|, j=1~k+1
: : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)|, i,j=1~k+1
: : + Σ|x_i-x_(k+2)| , i=1~k+1
: : + Σ|x_j-x_(k+2)| , j=1~k+1
: : = ΣΣ|x'_i+x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (x'_i=x_i-x_(k+2))
: : >= ΣΣ|x'_i-x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (因為n=k+1成立)
: : = ΣΣ|x_i- x_j| , i,j = 1~k+2
: : = 左式
: : 所以n=k+2時也成立
: : ---------------------
: : 若a不等於b, 不失其一般性設a=k+1, b=k+2
: : 後面有點懶得寫總之應該是平移讓 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0
: : 右式變成前k項兩兩相加的絕對值 + |其他+x'_(k+1)|+ |其他+x'_(k+2)|
: : 帶入 n=k項的不等式, 再平移還原回左式
人還是不能偷懶
自己的坑自己填
當a不等於b時
不失其一般性設a=k+1, b=k+2
t=(x_(k+1)+x_(k+2))/2
右式>=ΣΣ|x_i-t + x_j-t|;i,j=1~k+2
; 令x_i'=x_i'- t
; 此時 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0
=ΣΣ|x_i-t + x_j-t|;i,j=1~k+2
=ΣΣ|x'_i + x'_j|;i,j=1~k
+2Σ|x'_i + x'_(k+1)|;i=1~k ; x'_(k+1) = -x'_(k+2) 帶入
+2Σ|x'_i + x'_(k+2)|;i=1~k ; x'_(k+2) = -x'_(k+1) 帶入
+2|x'_(k+1)+x'_(k+2)| ; x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 帶入
+2|x'_(k+1)| + 2|x'_(k+2)|
>=ΣΣ|x'_i - x'_j|; i,j=1~k
+2Σ|x'_i - x'_(k+1)|;i=1~k
+2Σ|x'_i - x'_(k+2)|;i=1~k
+2|x'_(k+1) - x'_(k+2)| ; by 三角不等式
=ΣΣ|x'_i - x'_j|; i,j=1~k+2
=ΣΣ|x_i-x_j|; i,j=1~k+2
: 我很閒所以把m大的方法補齊
: 右式>=ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k+2
: =化簡
: =ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k
: +2Σ|x_i-x_(k+1)|;i=1~k
: +2Σ|x_j-x_(k+2)|;j=1~k
: +2|x_(k+1)-x_(k+2)|;令x_i'=x_i-x_(k+1),x_j'=x_j-x_(k+2)
: =ΣΣ|x_i'+x_j'|;i,j=1~k
: +2Σ|x_i'|;i=1~k
: +2Σ|x_j'|;j=1~k
: +2|x_(k+1)-x_(k+2)|
: >=ΣΣ|x_i'-x_j'|;i,j=1~k (因為n=k成立)
: +2Σ|x_i'|;i=1~k
: +2Σ|x_j'|;j=1~k
: +2|x_(k+1)-x_(k+2)|
: =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+1
: +2Σ|x_j'|;j=1~k
: +2|x_(k+1)-x_(k+2)|
: =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+2
: =左式
※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言：
: ※ 引述《mantour (朱子)》之銘言：
: : 仔細看一下, 他的論證邏輯可以改寫成以下型式
: : (1) 容易驗證n=1和n=2成立
: : (2) 若n=k和n=k+1都成立, 則n=k+2也成立
: : (3) 根據數學歸納法得證
: : 怎麼證明(2)呢
: : 就是利用中間的lemma
: : 當 n=k+2時
: : 對任意x_1~x_(k+2)
: : 存在 a,b 屬於 {1~k+2}
: : 使得t=-(x_a+x_b)/2時
: : ΣΣ|x_i+x_j+ 2t| 有最小值
: : 此時
: : 右式 = ΣΣ|x_i+x_j+ 2*0| , i,j=1~k+2
: : >= ΣΣ|x_i-x_a + x_j-x_b|
: : 若 a=b, 不失其一般性設a=b=k+2
: : 右式 >= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+2
: : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+1
: : + Σ|x_i-x_(k+2) + x_(k+2)-x_(k+2)| , i=1~k+2
: : + Σ|x_(k+2)-x_(k+2) + x_j - x_(k+2)|, j=1~k+1
: : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)|, i,j=1~k+1
: : + Σ|x_i-x_(k+2)| , i=1~k+1
: : + Σ|x_j-x_(k+2)| , j=1~k+1
: : = ΣΣ|x'_i+x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (x'_i=x_i-x_(k+2))
: : >= ΣΣ|x'_i-x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (因為n=k+1成立)
: : = ΣΣ|x_i- x_j| , i,j = 1~k+2
: : = 左式
: : 所以n=k+2時也成立
: : ---------------------
: : 若a不等於b, 不失其一般性設a=k+1, b=k+2
: : 後面有點懶得寫總之應該是平移讓 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0
: : 右式變成前k項兩兩相加的絕對值 + |其他+x'_(k+1)|+ |其他+x'_(k+2)|
: : 帶入 n=k項的不等式, 再平移還原回左式
: 我很閒所以把m大的方法補齊
: 右式>=ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k+2
: =化簡
: =ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k
: +2Σ|x_i-x_(k+1)|;i=1~k
: +2Σ|x_j-x_(k+2)|;j=1~k
: +2|x_(k+1)-x_(k+2)|;令x_i'=x_i-x_(k+1),x_j'=x_j-x_(k+2)
: =ΣΣ|x_i'+x_j'|;i,j=1~k
: +2Σ|x_i'|;i=1~k
: +2Σ|x_j'|;j=1~k
: +2|x_(k+1)-x_(k+2)|
: >=ΣΣ|x_i'-x_j'|;i,j=1~k (因為n=k成立)
: +2Σ|x_i'|;i=1~k
: +2Σ|x_j'|;j=1~k
: +2|x_(k+1)-x_(k+2)|
: =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+1
: +2Σ|x_j'|;j=1~k
: +2|x_(k+1)-x_(k+2)|
: =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+2
: =左式
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