Re: [中學] 看不懂這題數學歸納法的邏輯

※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言： : ※ 引述《mantour (朱子)》之銘言： : : 仔細看一下, 他的論證邏輯可以改寫成以下型式 : : (1) 容易驗證n=1和n=2成立 : : (2) 若n=k和n=k+1都成立, 則n=k+2也成立 : : (3) 根據數學歸納法得證 : : 怎麼證明(2)呢 : : 就是利用中間的lemma : : 當 n=k+2時 : : 對任意x_1~x_(k+2) : : 存在 a,b 屬於 {1~k+2} : : 使得t=-(x_a+x_b)/2時 : : ΣΣ|x_i+x_j+ 2t| 有最小值 : : 此時 : : 右式 = ΣΣ|x_i+x_j+ 2*0| , i,j=1~k+2 : : >= ΣΣ|x_i-x_a + x_j-x_b| : : 若 a=b, 不失其一般性設a=b=k+2 : : 右式 >= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+2 : : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+1 : : + Σ|x_i-x_(k+2) + x_(k+2)-x_(k+2)| , i=1~k+2 : : + Σ|x_(k+2)-x_(k+2) + x_j - x_(k+2)|, j=1~k+1 : : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)|, i,j=1~k+1 : : + Σ|x_i-x_(k+2)| , i=1~k+1 : : + Σ|x_j-x_(k+2)| , j=1~k+1 : : = ΣΣ|x'_i+x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (x'_i=x_i-x_(k+2)) : : >= ΣΣ|x'_i-x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (因為n=k+1成立) : : = ΣΣ|x_i- x_j| , i,j = 1~k+2 : : = 左式 : : 所以n=k+2時也成立 : : --------------------- : : 若a不等於b, 不失其一般性設a=k+1, b=k+2 : : 後面有點懶得寫總之應該是平移讓 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 : : 右式變成前k項兩兩相加的絕對值 + |其他+x'_(k+1)|+ |其他+x'_(k+2)| : : 帶入 n=k項的不等式, 再平移還原回左式 人還是不能偷懶 自己的坑自己填 當a不等於b時 不失其一般性設a=k+1, b=k+2 t=(x_(k+1)+x_(k+2))/2 右式>=ΣΣ|x_i-t + x_j-t|;i,j=1~k+2 ; 令x_i'=x_i'- t ; 此時 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 =ΣΣ|x_i-t + x_j-t|;i,j=1~k+2 =ΣΣ|x'_i + x'_j|;i,j=1~k +2Σ|x'_i + x'_(k+1)|;i=1~k ; x'_(k+1) = -x'_(k+2) 帶入 +2Σ|x'_i + x'_(k+2)|;i=1~k ; x'_(k+2) = -x'_(k+1) 帶入 +2|x'_(k+1)+x'_(k+2)| ; x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 帶入 +2|x'_(k+1)| + 2|x'_(k+2)| >=ΣΣ|x'_i - x'_j|; i,j=1~k +2Σ|x'_i - x'_(k+1)|;i=1~k +2Σ|x'_i - x'_(k+2)|;i=1~k +2|x'_(k+1) - x'_(k+2)| ; by 三角不等式 =ΣΣ|x'_i - x'_j|; i,j=1~k+2 =ΣΣ|x_i-x_j|; i,j=1~k+2 : 我很閒所以把m大的方法補齊 : 右式>=ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k+2 : =化簡 : =ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k : +2Σ|x_i-x_(k+1)|;i=1~k : +2Σ|x_j-x_(k+2)|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)|;令x_i'=x_i-x_(k+1),x_j'=x_j-x_(k+2) : =ΣΣ|x_i'+x_j'|;i,j=1~k : +2Σ|x_i'|;i=1~k : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : >=ΣΣ|x_i'-x_j'|;i,j=1~k (因為n=k成立) : +2Σ|x_i'|;i=1~k : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+1 : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+2 : =左式 ※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言： : ※ 引述《mantour (朱子)》之銘言： : : 仔細看一下, 他的論證邏輯可以改寫成以下型式 : : (1) 容易驗證n=1和n=2成立 : : (2) 若n=k和n=k+1都成立, 則n=k+2也成立 : : (3) 根據數學歸納法得證 : : 怎麼證明(2)呢 : : 就是利用中間的lemma : : 當 n=k+2時 : : 對任意x_1~x_(k+2) : : 存在 a,b 屬於 {1~k+2} : : 使得t=-(x_a+x_b)/2時 : : ΣΣ|x_i+x_j+ 2t| 有最小值 : : 此時 : : 右式 = ΣΣ|x_i+x_j+ 2*0| , i,j=1~k+2 : : >= ΣΣ|x_i-x_a + x_j-x_b| : : 若 a=b, 不失其一般性設a=b=k+2 : : 右式 >= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+2 : : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+1 : : + Σ|x_i-x_(k+2) + x_(k+2)-x_(k+2)| , i=1~k+2 : : + Σ|x_(k+2)-x_(k+2) + x_j - x_(k+2)|, j=1~k+1 : : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)|, i,j=1~k+1 : : + Σ|x_i-x_(k+2)| , i=1~k+1 : : + Σ|x_j-x_(k+2)| , j=1~k+1 : : = ΣΣ|x'_i+x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (x'_i=x_i-x_(k+2)) : : >= ΣΣ|x'_i-x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (因為n=k+1成立) : : = ΣΣ|x_i- x_j| , i,j = 1~k+2 : : = 左式 : : 所以n=k+2時也成立 : : --------------------- : : 若a不等於b, 不失其一般性設a=k+1, b=k+2 : : 後面有點懶得寫總之應該是平移讓 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 : : 右式變成前k項兩兩相加的絕對值 + |其他+x'_(k+1)|+ |其他+x'_(k+2)| : : 帶入 n=k項的不等式, 再平移還原回左式 : 我很閒所以把m大的方法補齊 : 右式>=ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k+2 : =化簡 : =ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k : +2Σ|x_i-x_(k+1)|;i=1~k : +2Σ|x_j-x_(k+2)|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)|;令x_i'=x_i-x_(k+1),x_j'=x_j-x_(k+2) : =ΣΣ|x_i'+x_j'|;i,j=1~k : +2Σ|x_i'|;i=1~k : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : >=ΣΣ|x_i'-x_j'|;i,j=1~k (因為n=k成立) : +2Σ|x_i'|;i=1~k : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+1 : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+2 : =左式 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.125.75 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1730034466.A.635.html