Re: AMC10 2024考題第20～25
※ 引述《shudies (Never Stop)》之銘言：
: https://i.imgur.com/kWqDzow.jpeg
: https://i.imgur.com/XJj7Z1g.jpeg
21. 是特殊三角形耶。面積=底*高/2，底是1.5 * 4，高是1.5 * 根號3
22. 湊湊看 發現10k+1, 10k+4, 10k+8似乎很適合，此時能塞606+2 = 608個
接下來就是想辦法證明不能塞更多 => 證明連續10個整數中，最多只能選3個數
證明：想辦法塞4個，分類討論
4偶：必有2偶數相差<=2
3奇以上：必有2奇數相差<=6
3偶1奇：必為第1,3,5個偶數，奇數塞不進去
2偶2奇：必為第1,5個奇數，兩奇數間相差8，2個偶數塞不進去，塞兩側也不行
因此無法選4個數，證畢
23. 看到a, b, c皆為整數 就先來湊湊看 看能不能因式分解
(ab+c) + (bc+a) = b(a+c) + (a+c) = (b+1)(a+c) = 187 = 1*187 = 11*17 -- 式1
(ab+c) - (bc+a) = b(a+c) + (c-a) = (b-1)(a-c) = 13 = 1*13 -- 式2，質數好耶
觀察式2，由於a, b, c皆為整數，這邊b只有2, 14, 0, -12四種可能
再觀察式1，b+1必須是187的因數，因此b = 0, -12
b = -12時，有-12a + c = 100 且 -12c + a = 87
兩式相加 => -11(a+c) = 187, a+c = -17
又a-c = 13 / (-13) = -1 => 2a = -18, a = -9 => c = -8
此時ca+b = 72 -12 = 60，合
b = 0時，a = 100, c = 87
此時ca+b = 8700，不合
所以ab + bc + ca = (-9)(-12) + (-12)(-8) + (-8)(-9)
= 108 + 96 + 72 = 276
(或是ab+bc+ca = 100 + 87 + 60 + 9 + 12 + 8)
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https://www.youtube.com/watch?v=VFvdcfTtBR0
https://i.imgur.com/AHwNSK4.jpg
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