![Re: [中學] 幾何證明題](https://i.imgur.com/sP7z79s.jpeg)
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Re: [中學] 幾何證明題
※ 引述《AquaCute (水色銅碲)》之銘言：
: ※ 引述《glmm (綠島(俺是復活島島主))》之銘言：
: : 如下圖
: : https://i.imgur.com/sP7z79s.jpeg
: : 請問給定隨意的兩個正方形，試證 x : y ＝ 1 : 根號2
: : 目前我可以用特殊的圖形求解出 x : y ＝ 1 : 根號2
: : 但我還找不出一般圖形要如何解？
: 我也覺得圖畫錯了 符合x : y = 1 : 根號2的圖長這樣：
: https://i.imgur.com/R7yXgZn.png
: 連BD、DF，我們來證明三角形DAE與三角形DBF相似：
: 1. 三角形DAB是等腰直角三角形 => DB長 = 根號2 * DA長
: 2. 三角形DEF是等腰直角三角形 => DF長 = 根號2 * DE長
: 3. 角ADE + 45度 = 45度 + 角BDF => 角ADE = 角BDF
: 因此三角形DAE與三角形DBF相似(SAS)
: => x : y = 1 : 根號2
考慮一個正方形(大正方形)邊長為L
四角座標為(0,0) (L,0) (0,L) (L,L)
假設有一條直線長度為L1>=L, 第一端落於(A,0), A<=L
其第二端落於(A,L1)
其與正方形的交點為(A,L)
考慮(0,L)與(A,L1)
得到小正方形的下方頂點為((L1-(L-A))/2,(L1+(L-A))/2)
考慮(0,0)與(A,L)連線
x/A=y/L
如果小正方形下方頂點落於上述連線上，則
[L1-(L-A)]*L = [L1+(L-A)]*A
L1*L - L^2 + AL = L1*A + LA - A^2
L1*(L-A) = (L+A)(L-A)
1. L=A
小正方形下方頂點為
(L1/2,L1/2)
長度為L1/sqrt(2)
X線段長為L1/sqrt(2)
Y線段長為L1, 兩者比為X:Y = 1:sqrt(2) #
2. L1 = L+A
小正方形下方頂點為
(A,L) =>落在大正方形的上緣，這也表示(暗示)A=L
Y線段長 2L, X線段長L*sqrt(2)
兩者比為X:Y=1:sqrt(2) #
重點：X線段的延伸與Y線段相交的位置在大正方形的上緣
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