[問題] 第一型誤差的數學表達式

作者 saltlake (SaltLake)

時間 2024-06-03 06:39:44

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請問第一型誤差 (alpha) 的數學表達式是怎麼表達? 它的文字定義的描述是: 從樣本測試觀察到 Ha (替代假說) 但是實際上是 Hn (虛無假說) 的機率把文字描述改寫成數學式子的話，應該怎麼表達? P(Ha|Hn) 已知 Hn 的條件下，發生 Ha 之機率? 還是別的表達方式? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.36.200.19 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Statistics/M.1717367986.A.654.html

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→ yhliu 型一誤，型二誤，只是假說檢定中的錯誤類型稱呼。如果實際 06/03 07:44 1F

→ yhliu 上虛無假說是對的，但檢定結果卻棄卻它而接受對立假說，就 06/03 07:46 2F

→ yhliu 稱犯了型一誤。另一邊，如果實際上對立假說才對，虛無假說 06/03 07:48 3F

→ yhliu 不成立，檢定的結論卻未能棄卻虛無假說，就犯了型二誤。 06/03 07:49 4F

→ yhliu 所以 type 1 error, type 2 error 只是指所犯錯誤的類型， 06/03 07:51 5F

→ yhliu 而不是指其大小。至於要計算其大小，也就是犯型一誤的機率 06/03 07:52 6F

→ yhliu 或犯型二誤的機率，則要在特定參數值之下才能計算。也就是 06/03 07:53 7F

→ yhliu 說：先碓定參數的一個值，可以根據檢定規則計算出棄卻與不 06/03 07:55 8F

→ yhliu 棄卻 H0 的機率。如果這個選定的參數值是落在 H0 範圍，那 06/03 07:57 9F

→ yhliu 麼棄卻 H0 的機率就是在這參數值上犯型一誤的機率。另外， 06/03 07:59 10F

→ yhliu 若選定的參數值落在 Ha 的範圍，棄卻 H0 是對的，這個機率 06/03 08:01 11F

→ yhliu 稱為這檢定（程序）在這參數點上的檢定力；它的 1-補數，也 06/03 08:03 12F

→ yhliu 就是不棄卻 H0 的機率，就是犯型二誤的機率。舉個例子，群 06/03 08:05 13F

→ yhliu 體是常態群體，H0:群體平均 m 小於或等於 0, Ham > 0, 06/03 08:07 14F

→ yhliu 現在假設樣本數 n 定了，選定 m 一個值例如 m = 0, 變異數 06/03 08:09 15F

→ yhliu 一個值例如 1,　可以計算在所定的 n 之下，t 檢定的臨界值, 06/03 08:11 16F

→ yhliu 也就是決定樣本平均數多大會棄卻 H0, 從而計算在所選定參數 06/03 08:13 17F

→ yhliu 值（群體平均數０標準差１）會棄卻 H0 的機率。因為選定的 06/03 08:15 18F

→ yhliu 參數值落在 H0 (m =< 0)，所以這機率就是在這參數點上犯型 06/03 08:17 19F

→ yhliu 一誤的機率。改變參數值的設定，可以計算不同參數點犯型一 06/03 08:18 20F

→ yhliu 誤的機率（參數值在 H0 時），或不同參數點的檢定力（參數 06/03 08:20 21F

→ yhliu 值落在 Ha 時）。 06/03 08:21 22F

→ yhliu 可參考 https://yhliu2k.pixnet.net/blog/post/150076555 06/03 08:22 23F

換個表達方式，請問能否用計算或然率的數學式來表達各型誤差? 例如: alpha = P(?) = Integral(?) beta = P(?) = Integral (?)

※ 編輯: saltlake (114.36.200.19 臺灣), 06/03/2024 09:44:18

→ recorriendo alpha是拒絕H0的門檻是檢定者自己選訂的例如選 06/03 12:10 24F

→ recorriendo 0.05 06/03 12:10 25F

→ recorriendo p value才是type 1 error rate，p value超過alpha就 06/03 12:12 26F

→ recorriendo 拒絕H0 06/03 12:12 27F

→ recorriendo p value才能以機率理解 alpha是檢定者裁量的標準取 06/03 12:14 28F

→ recorriendo 決檢定者覺得檢定需要多嚴格 06/03 12:14 29F

→ recorriendo p value = P(test statistic is as or more extrem 06/03 12:18 30F

→ recorriendo e than the observed value, given H0 and populat 06/03 12:18 31F

→ recorriendo ion/sampling assumptions) 06/03 12:18 32F

→ recorriendo 說錯了 alpha是type 1 error rate沒錯 06/03 12:24 33F

→ recorriendo alpha = P(test rejects H0, given H0 and populat 06/03 12:29 34F

^^^^^^^^^ 這部分是否表示構成條件機率? 也就是已知(***)的狀況下，拒絕虛無假設

→ recorriendo ion/sampling assumptions hold) 06/03 12:29 35F

※ 編輯: saltlake (114.36.200.19 臺灣), 06/03/2024 13:10:21

→ recorriendo 是條件機率但不是"已知" 條件機率指"假設H0成立的 06/03 14:17 36F

→ recorriendo 前提下" 實際上H0成不成立是未知的不然根本不必檢定 06/03 14:17 37F

→ yhliu 不是說得很明確了嗎？type 1 error 及 type 2 error 的機率 06/04 06:28 38F

→ yhliu 都是在特定參數值之下計算的。除非 H0 是簡單假說死也就是 06/04 06:30 39F

→ yhliu H0 只含一個參數點，否則 P[Reject H0; H0] 是無意義的； 06/04 06:31 40F

→ yhliu 要計算的是 P[Reject H0; theta] 其中 theta 是一個明確的 06/04 06:33 41F

→ yhliu 參數點，如前面舉的群體平均數=0，標準差=1 這樣的參數值 06/04 06:35 42F

→ yhliu 值組合。但只有參數點落在 H0，棄卻 H0 的機率才叫做 type 06/04 06:37 43F

→ yhliu 1 error 的機率；若參數點落在 Ha，則棄卻 H0 是正確的決策 06/04 06:38 44F

→ yhliu 其機率稱為檢定力 power of the test。 06/04 06:39 45F

→ yhliu 另外，p 值是另一個概念，和型一誤的機率是兩回事。 06/04 06:40 46F

→ yhliu 在固定顯著水準下，才可能明定檢定規則，才可能談棄卻 H0 06/04 06:43 47F

→ yhliu 的機率。顯著水準不是機率，是規定型一誤機率不能逾越的界 06/04 06:44 48F

→ yhliu 限。定了顯著水準，然後有了 reject or not reject H0 的準 06/04 06:46 49F

→ yhliu 則，然後可以在 H0 的每一個參數點計算型一誤的機率，這些 06/04 06:47 50F

→ yhliu 機率都不能超過顯著水準。而 p 值是另一種思考：不管顯著水 06/04 06:49 51F

→ yhliu 準是多少，reject H0 的規則都可以寫成 T > t* 的形式，其 06/04 06:50 52F

→ yhliu 中 T 是檢定統計量，t* 稱臨界值，其大小取決於顯著水準， 06/04 06:52 53F

→ yhliu 顥著水準小，t* 就大；顯著水準大，t* 就小。所以當前的資 06/04 06:54 54F

→ yhliu 料，也就是手上實際抽樣得到的資料，會做成 reject or not 06/04 06:55 55F

→ yhliu reject H0 的決定完全取決於顯著水準，顯著水準大可能就 06/04 06:56 56F

→ yhliu reject，顯著水準小就 cannot reject, 所以其中有個界限 p 06/04 06:58 57F

→ yhliu 當顯著水準大於或等於 p 就會 reject H0; 顯著水準小於 p, 06/04 07:00 58F

→ yhliu 則 can't reject H0。所以 p, 所謂 p-value, 就是當前資料 06/04 07:01 59F

→ yhliu 能 reject H0 的最小顯著水準。又由於臨界值 t* 和顯著水準 06/04 07:03 60F

→ yhliu 的反向關係，所以對於 T>t* 型臨界域（棄卻域）的檢定，p值 06/04 07:04 61F

→ yhliu 也可以機率形式表示成 P[T > t; theta], 其中 t 是當前資料 06/04 07:06 62F

→ yhliu 的檢定統計量的值，theta 是 H0 中使 reject H0 機率最高的 06/04 07:08 63F

→ yhliu 的參數點，通常它在 H0 和 Ha 的共同邊界上。 06/04 07:09 64F

推 recorriendo 我有提完整的前提包含關於母體和抽樣的假定參數也 06/05 00:27 65F

→ recorriendo 是關於假定母體分布的描述 06/05 00:27 66F

→ recorriendo 複雜統計檢定程序的研究也是這麼做的給定H0成立的 06/05 00:36 67F

→ recorriendo 精確的母體分布和抽樣方法用模擬資料估計H0被拒 06/05 00:36 68F

→ recorriendo 絕的機率就是type 1 error rate 06/05 00:36 69F

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