Re: [中學] 二項展開式和線性近似之關係
※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之銘言：
: ※ 引述《saltlake (SaltLake)》之銘言：
: : 請問下列二者之間的大小關係怎樣確定?
: : A = 1 - (1 - a)^n
: : B = n*a
: : n 是自然數而 a 乃實數
: : A < B? 還是 A > B?
: : 倘若 (1) 0 <= a <= 1; (2) 1 <= a
: 當0 <= a <= 1：
: A = a[1 + (1 - a) + (1 - a)^2 + ... + (1 - a)^(n-1)]
: <= na = B
上面這式子怎麼來的?
根據二項展開式:
(1 - a)^n = 1 + sum( C(n,i)*(-a)^i, i = 1 to n)
A = 1 - (1 - a)^n = -sum( C(n,i)*(-a)^i, i = 1 to n)
看不出怎麼得到上面那個式子。
: 當 1 < a 且 n為偶數：
: A = 1 - a^n (1/a - 1)^n <= 1 - (1 - 1/a)^n < n/a < na = B
: 當 1 < a 且 n為奇數：
: A = 1 + |a - 1|^n 沒有必然一定A > B或A < B
: 隨便舉幾個區間
: 當a >> 2，A ~ a^n > na = B
: 當a < 2很小，A <= 1 + (a - 1) = a <= na = B
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