Re: [線代] 類似勞侖茲變換的證明
※ 引述《mantour (朱子)》之銘言：
: 已知 A 是一個 2x2 實矩陣，且 det(A) = 1。
: 對於任意實數 x 和 y，有以下變換關係：
: [x'] = A [x]
: [y'] [y]
: 並且滿足：
: x^2 - y^2 = 0 <=> x'^2 - y'^2 = 0
: 我想證明：
: 1. 對於任意實數 x 和 y， x'^2 - y'^2 = x^2 - y^2。
: 2. 矩陣 A 的形式為：
: A = ± 1/√(1-v^2) * [1 v]
: [v 1]
: 其中 -1 < v < 1。
: 請教除了設
: A = [a b]
: [c d]
: 下去硬爆之外有沒有什麼好方法
設A的row vector分別為u、w，
M = [1 0]
[0 -1]
設f(x, A) = x^T A^T M A x = |x * u|^2 - |x * w|^2
如x滿足x^T M x = 0 <=> x^2 - y^2 = 0
則u, w必須是相對y = x或y = -x互為鏡射才能使f(x) = 0
若f(x, A) = 0，u, w必須挑選相對y = x或y = -x互為鏡射才能使x^T M x = 0
=> A為對稱矩陣或者各列可任意再乘以-1(此種狀況就非對稱矩陣)
若設定det(A) = 1
設x為任意實數向量 = k(w + u)/|w + u| + r(w - u)/|w - u|
f(x, A) = |x * u|^2 - |x * w|^2 = -2krdet(A) = -2kr
= x^2 - y^2
=> x'^2 - y'^2 = x^2 - y^2
顯然I是滿足上述A的其中一個轉換
因為要求det(A) = 1
=> A = (+-1/√[a^2 - b^2])[a b]
[b a]
但是I是A的其中之一，取+
=> A = (+1/√[1 - v^2])[1 v]
[v 1]
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