Re: [代數] 級數的不等式證明
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 想問一道不等式證明：
: 設a_1 ≦ a_2 ≦ ... ≦ a_n，a_i不限正負。
: 定義A_k =Σ_(i=1 to k) a_i
: A'_k = Σ_(i=1 to k) a_σ(i)
: σ(i)是i的置換permutation
: 證明對所有的k=1~n，A_k≦A'_k都成立。
: 請問強者應該要怎麼證明這個A_k的性質？
: 感謝回答～
令
S_k={a_i, i=1~k}
S'_k={a_σ(i), i=1~k}
P_k= S_k \ S'_k
Q_k= S'_k \ S_k
則
sum(S_k) - sum(S'_k) = sum(P_k) - sum(Q_k)
n(P_k) = n(Q_k) = k - n(S_k∩S'_k)
對所有 x 屬於 P_k 且 y屬於Q_k , x≦y
因此 sum(P_k) ≦ n(P_k)*max(P_k) ≦ n(Q_k)*min(Q_k) ≦ sum(Q_k)
=> sum(S_k) ≦ sum(S'_k)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.137.14.92 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1726540934.A.519.html