[代數] 不等式證明

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作者 Lanjaja

時間 2024-09-13 12:57:09

留言 26 ( 9推 0噓 17→ )

回文 4則

各位先進好，我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n 試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n) 當n=3時我可以乘開，但是這樣的證明方式有其侷限性。到n≧4的時候我平方後會開始多出許多不是不等式右方的項，接著就處理不下去了。懇請板上強者幫忙提供一下這個不等式的證明。感謝回答～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.25.33.91 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1726203431.A.757.html

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[代數] 不等式證明

9 26 math Lanjaja

2024-09-13 12:57:09

Re: [代數] 不等式證明

2 7 math WINDHEAD

2024-09-13 21:09:44

Re: [代數] 不等式證明

6 19 math Lanjaja

2024-09-14 12:11:15

Re: [代數] 不等式證明

1 1 math Vulpix

2024-09-16 02:34:13

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推 vectorlog 這是算幾不等式的n個變數版本嗎？ 09/13 15:57 1F

→ Ricestone 右邊實際上是什麼？太多的話明顯錯誤吧 09/13 16:15 2F

→ Ricestone 至少如果是C(n,2)這種方式的話，右邊項數會超過左邊 09/13 16:19 3F

→ Ricestone 那就單純全部取1就出錯了 09/13 16:19 4F

推 WINDHEAD n=4 可以融合成 (x_1-x_2+x_3-x_4)^2>=0 09/13 16:26 5F

是的，n=4展開是(x_1-x_2+x_3-x_4)^2>=0，但是我做到這裏就沒辦法繼續往n>=5前進了...... 因為光是當n奇數時(x_1-x_2+x_3-x_4+x_5)^2就造不出最後一項x_5x_1了

推 Starvilo 平方相減>=0(或含排序不等式) 09/13 16:33 6F

可以請S大幫忙解釋一下如何推廣到n>4的狀況嗎？謝謝！

推 StellaNe 右邊只有n項 n=4是x1x2+x2x3+x3x4+x4x1 09/13 16:42 7F

→ Ricestone 喔喔，沒想到環形 09/13 16:48 8F

→ WINDHEAD 這題滿有趣的可以用幾何作 09/13 18:30 9F

可以請W大講解一下怎麼用幾何做嗎？謝謝！

※ 編輯: Lanjaja (192.192.13.101 臺灣), 09/13/2024 18:45:05

→ Lanjaja 是的，右式不是所有交叉項的總和，只是相鄰項乘積和 09/13 18:59 10F

→ Lanjaja 頭尾乘積，抱歉沒有寫明 09/13 18:59 11F

推 walkwall 提供一個思路但我還沒細推你就把他想成是在直線 09/13 19:15 12F

→ walkwall 上的連續長度片段x1, x2, x3... 那任意相鄰兩個線段 09/13 19:16 13F

→ walkwall 為直徑的半圓上相接點頂到半圓上的高就是相乘開根 09/13 19:17 14F

→ walkwall 那這題幾何上直觀的意思就是這些高平均的最大值發 09/13 19:18 15F

→ walkwall 生在每個線段等長的時候以這個思路就不難看出來數 09/13 19:19 16F

→ walkwall 學歸納法不好拆但直覺上是對的 09/13 19:19 17F

推 walkwall 可能想辦法證明任意數列相鄰兩數在相等時會有最大 09/13 19:41 18F

→ walkwall 值比較是可能的突破口比如說不管x1,x4值大小 09/13 19:42 19F

→ walkwall 固定所有其他值與x2+x3的值(左側固定) 證明x2=x3時 09/13 19:44 20F

→ walkwall 右側會有最大值這樣 09/13 19:44 21F

推 Starvilo 題目有錯嗎？n=5 (1,1,1,2,2)矛盾，若後面是逆序 09/13 22:24 22F

→ Starvilo 和，即為切比雪夫不等式？ 09/13 22:24 23F

推 LPH66 上面有說了, 右邊是相鄰兩項積和 (最後一項是頭尾積 09/14 08:44 24F

推 StellaNe 左=(1+1+1+2+2)/5=1.4 右=√((1+1+2+4+2)/5)=√2= 09/14 09:06 25F

→ StellaNe 1.414... 右>左 09/14 09:06 26F

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