Re: [代數] 不等式證明

※ 引述《Lanjaja ()》之銘言： : 各位先進好， : 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。 : 題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n : 試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n)/C(n,2)) 總之先證證看前面那條式子。 建構一個 P(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) 把 P(x) 展開得到一個多項式，記為 x^n-Σ_1 x^{n-1}+Σ_2 x^{n-2}+...+(-1)^n Σ_n 不難知道 Σ_1 = x_1+x_2+...+x_n 而 Σ_2 = x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n 然後我們參考一下這個定理： 設P(x)是n次實係數多項式，若P(x)的根都是實數，則P'(x)的根也都是實數。 證明請參照：https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1296297333.A.AC2.html 顯然我們的 P(x) 是只有實根的多項式。 所以他的 n-2 階導函數 (n!/2!)x^2 - (n-1)!Σ_1 x + (n-2)!Σ_2 也只有實根， 除以 n!/2! 後也不改變這件事。 所以 x^2 - (2Σ_1/n) x + Σ_2/C(n,2) = 0 有兩個實根。 其判別式非負，即 4Σ_1^2/n^2 - 4Σ_2/C(n,2) ≧ 0。 整理過後得到 Σ_1/n ≧ (Σ_2/C(n,2))^0.5，得證。 可是當我想要嘗試用三實根的判別式如法炮製的時候，會很卡。 雖然做得出來，但最後要看一個不是很好看的函數的最大值。 （即使微分就完事，還是不好看。） 總之嘗試著打出來看看怎麼證明 (Σ_2/C(n,2))^0.5 ≧ (Σ_3/C(n,3))^{1/3}。 為了方便起見，改用跟 wiki 一樣的記號表達：S_2^0.5 ≧ S_3^{1/3}。 首先，把之前做好的 P(x) 微分 n-3 次， 可以知道 x^3-3S_1 x^2+3S_2 x-S_3 恰有三實根。 所以判別式非正，即 (-3S_1S_2/2+S_1^3+S_3/2)^2-(S_1^2-S_2)^3 ≦ 0。 針對 S_3 整理一下，並且只看 S_3 的上界： S_3 ≦ 2(S_1^2-S_2)^1.5 - 2S_1^3 + 3S_1S_2 ＝ S_2^1.5 * ( 2(k-1)^1.5 - 2k^1.5 + 3k^0.5 ) 其中 k = S_1^2/S_2 ≧ 1。 然後研究一下 f(k) = 2(k-1)^1.5 - 2k^1.5 + 3k^0.5 從 f'(k) = 3(k-1)^0.5 - 3k^0.5 + 1.5/k^0.5 = 3( 1/(2k^0.5) - 1/((k-1)^0.5+k^0.5) ) < 0 所以可以知道 f 遞減，最大值發生在 k=1，所以最大值 f(1)=1。 那麼 S_3 ≦ S_2^1.5 就證明出來了，最後整理一下即可。 可是這樣搞，後面的不等式會真的很不好做。 像是 S_4^0.25 ≦ S_3^{1/3} 之類的。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1726425255.A.892.html