Re: [代數] 不等式證明

※ 引述《Lanjaja ()》之銘言： : 各位先進好， : 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。 : 題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n : 試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n) : 當n=3時我可以乘開，但是這樣的證明方式有其侷限性。 : 到n≧4的時候我平方後會開始多出許多不是不等式右方的項，接著就處理不下去了。 : 懇請板上強者幫忙提供一下這個不等式的證明。 : 感謝回答～ 剛剛仔細看了一下還真的跟 n 有關 我們想要知道 LHS = (x_1+x_2+...+x_n)^2 是否大於 RHS = n(x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1) 一個簡單的數字代入是 令 y = x_1 = ... = x_k , 其餘為 1 那麼 LHS = [ky+(n-k)]^2 , RHS = n(k-1)y^2+2ny+n(n-k-1) LHS - RHS 可整理得到 (k^2-nk+n)(y-1)^2 令 f(n,k) = k^2-nk+n = (k-n/2)^2 + (4-n)n/4 所以當 n>4 的時候 我們總是可以取 k = [n/2] 使 f(n,k) < 0 也就是 LHS - RHS < 0 對於所有 y 但你也可以取 k=1 讓 LHS - RHS = (y-1)^2 ≧ 0 對於所有 y -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.83.106 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1726232988.A.2F0.html