Re: [代數] 不等式證明

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作者 Lanjaja

時間 2024-09-14 12:11:15

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回文 4則

※ 引述《Lanjaja ()》之銘言： : 各位先進好， : 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。 : 題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n : 試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n) : 當n=3時我可以乘開，但是這樣的證明方式有其侷限性。 : 到n≧4的時候我平方後會開始多出許多不是不等式右方的項，接著就處理不下去了。 : 懇請板上強者幫忙提供一下這個不等式的證明。 : 感謝回答～各位先進，真的很抱歉。謝謝所有前輩提供的思路，對我來說都很有幫助，學習到不同的切入點。經過Star大指出反例，這個命題應該是有問題的，我思慮不周，很抱歉，應該再做一些修正。我是在一本不等式入門的書看到作者給出n=3的狀況： (x_1 + x_2 + x_3)/3 ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)/n) ≧ 幾何平均數這道命題沒有問題，n=4的狀況也是正確的。但是書中說n=3這條不等式只是關於n個非負數的類似結果的一個特殊情形，廣義狀況為最左端是算術中項，最右端是幾何中項。所以按照上下文，我就努力在想中間項的表達式。光從左邊不等式我猜不出來，只能從右側反推出中間項應該是相鄰循環項。但是我的猜測現在證實到n=5就卡住了。一切又似乎回到原點了，我想好久都想不出來>< 能否請各位前輩再幫忙想想這中間項的形式是什麼？感謝各位強者的幫忙！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.25.36.84 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1726287077.A.2B1.html

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[代數] 不等式證明

9 26 math Lanjaja

2024-09-13 12:57:09

Re: [代數] 不等式證明

2 7 math WINDHEAD

2024-09-13 21:09:44

Re: [代數] 不等式證明

6 19 math Lanjaja

2024-09-14 12:11:15

Re: [代數] 不等式證明

1 1 math Vulpix

2024-09-16 02:34:13

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→ WINDHEAD 沒有我n>4的證明少算了好幾項是錯的 09/14 12:27 1F

→ WINDHEAD 那個只適用 n<5. 我另外回在上面 n>5 的時候 09/14 12:28 2F

→ WINDHEAD 這個不等式不總是對的 09/14 12:28 3F

推 Starvilo 令x_1=x_2=1,其餘全取0 ,n>=5,皆是反例 09/14 12:41 4F

推 StellaNe 全相異項乘積除以組合數? 09/14 12:42 5F

推 StellaNe 或 n-1項乘積和平均開n-1方根? 09/14 12:52 6F

→ mantour 覺得應該是樓上說的沒錯 09/14 14:38 7F

→ mantour n-1項乘積的所有組合的平均開n-1方根 09/14 14:39 8F

→ mantour 這樣右邊等號可以用調和平均的倒數證明 09/14 14:39 9F

→ mantour 左邊用程式沒有找到反例但是沒想出怎麼證明 09/14 14:40 10F

→ mantour ** 更正右邊不等式用調和平均的倒數證明 09/14 14:41 11F

推 Vulpix 兩兩乘積都拿來平均吧。 09/14 15:58 12F

→ mantour 對厚兩兩乘積平均也可以 09/14 16:06 13F

→ mantour 請教樓上兩兩乘積平均要怎麼證明 09/14 16:11 14F

推 Vulpix 平方相減會得到樣本變異數。 09/14 17:53 15F

→ Lanjaja 請問n-1項乘積是哪些？n=3的情況是3項乘積 09/14 23:24 16F

→ Lanjaja m大可以解釋一下右邊怎麼用調和不等式證明嗎？感謝 09/14 23:39 17F

推 TimcApple wikiMaclaurin's inequality 09/15 15:59 18F

→ Lanjaja Tim大太厲害了，就是這個不等式了，這都能找得出來! 09/15 22:29 19F

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