Re: [中學] 看不懂這題數學歸納法的邏輯
※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言：
: https://web.evanchen.cc/exams/IMO-2021-notes.pdf
: 這個pdf的第4頁的問題
: 一般的數學歸納法應該是
: 已知n=1成立
: 假設n=k成立 若能證明n=k+1成立
: 就得證
: 可是這題的證法是
: 已知n=1,n=2成立
: 證明n-1的case成立
: 證明n-2的case成立
: 所以得證
: 我的問題有二點
: 1.為什麼需要已知n=2成立?
: (而且n = 2 being easy to verify by hand.....?)
: 2.我猜它的邏輯是 因為n-1是n-2的特例
: 所以在n-2成立的前題下 n-1必成立 所以得證
: (但是這樣子的話就沒有必要特別去證n-1成立)
: 請問這題的證明邏輯是什麼呢?
仔細看一下, 他的論證邏輯可以改寫成以下型式
(1) 容易驗證n=1和n=2成立
(2) 若n=k和n=k+1都成立, 則n=k+2也成立
(3) 根據數學歸納法得證
怎麼證明(2)呢
就是利用中間的lemma
當 n=k+2時
對任意x_1~x_(k+2)
存在 a,b 屬於 {1~k+2}
使得t=-(x_a+x_b)/2時
ΣΣ|x_i+x_j+ 2t| 有最小值
此時
右式 = ΣΣ|x_i+x_j+ 2*0| , i,j=1~k+2
>= ΣΣ|x_i-x_a + x_j-x_b|
若 a=b, 不失其一般性設a=b=k+2
右式 >= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+2
= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+1
+ Σ|x_i-x_(k+2) + x_(k+2)-x_(k+2)| , i=1~k+2
+ Σ|x_(k+2)-x_(k+2) + x_j - x_(k+2)|, j=1~k+1
= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)|, i,j=1~k+1
+ Σ|x_i-x_(k+2)| , i=1~k+1
+ Σ|x_j-x_(k+2)| , j=1~k+1
= ΣΣ|x'_i+x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (x'_i=x_i-x_(k+2))
>= ΣΣ|x'_i-x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (因為n=k+1成立)
= ΣΣ|x_i- x_j| , i,j = 1~k+2
= 左式
所以n=k+2時也成立
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若a不等於b, 不失其一般性設a=k+1, b=k+2
後面有點懶得寫總之應該是平移讓 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0
右式變成前k項兩兩相加的絕對值 + |其他+x'_(k+1)|+ |其他+x'_(k+2)|
帶入 n=k項的不等式, 再平移還原回左式
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