Re: [中學] 看不懂這題數學歸納法的邏輯
※ 引述《mantour (朱子)》之銘言：
: ※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言：
: : https://web.evanchen.cc/exams/IMO-2021-notes.pdf
: : 這個pdf的第4頁的問題
: : 一般的數學歸納法應該是
: : 已知n=1成立
: : 假設n=k成立 若能證明n=k+1成立
: : 就得證
: : 可是這題的證法是
: : 已知n=1,n=2成立
: : 證明n-1的case成立
: : 證明n-2的case成立
: : 所以得證
: : 我的問題有二點
: : 1.為什麼需要已知n=2成立?
: : (而且n = 2 being easy to verify by hand.....?)
: : 2.我猜它的邏輯是 因為n-1是n-2的特例
: : 所以在n-2成立的前題下 n-1必成立 所以得證
: : (但是這樣子的話就沒有必要特別去證n-1成立)
: : 請問這題的證明邏輯是什麼呢?
:
: 仔細看一下, 他的論證邏輯可以改寫成以下型式
: (1) 容易驗證n=1和n=2成立
: (2) 若n=k和n=k+1都成立, 則n=k+2也成立
: (3) 根據數學歸納法得證
: 怎麼證明(2)呢
: 就是利用中間的lemma
: 當 n=k+2時
: 對任意x_1~x_(k+2)
: 存在 a,b 屬於 {1~k+2}
: 使得t=-(x_a+x_b)/2時
: ΣΣ|x_i+x_j+ 2t| 有最小值
: 此時
: 右式 = ΣΣ|x_i+x_j+ 2*0| , i,j=1~k+2
: >= ΣΣ|x_i-x_a + x_j-x_b|
: 若 a=b, 不失其一般性設a=b=k+2
: 右式 >= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+2
: = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+1
: + Σ|x_i-x_(k+2) + x_(k+2)-x_(k+2)| , i=1~k+2
: + Σ|x_(k+2)-x_(k+2) + x_j - x_(k+2)|, j=1~k+1
: = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)|, i,j=1~k+1
: + Σ|x_i-x_(k+2)| , i=1~k+1
: + Σ|x_j-x_(k+2)| , j=1~k+1
: = ΣΣ|x'_i+x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (x'_i=x_i-x_(k+2))
: >= ΣΣ|x'_i-x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (因為n=k+1成立)
: = ΣΣ|x_i- x_j| , i,j = 1~k+2
: = 左式
: 所以n=k+2時也成立
: ---------------------
: 若a不等於b, 不失其一般性設a=k+1, b=k+2
: 後面有點懶得寫總之應該是平移讓 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0
: 右式變成前k項兩兩相加的絕對值 + |其他+x'_(k+1)|+ |其他+x'_(k+2)|
: 帶入 n=k項的不等式, 再平移還原回左式
我很閒所以把m大的方法補齊
右式>=ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k+2
=化簡
=ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k
+2Σ|x_i-x_(k+1)|;i=1~k
+2Σ|x_j-x_(k+2)|;j=1~k
+2|x_(k+1)-x_(k+2)|;令x_i'=x_i-x_(k+1),x_j'=x_j-x_(k+2)
=ΣΣ|x_i'+x_j'|;i,j=1~k
+2Σ|x_i'|;i=1~k
+2Σ|x_j'|;j=1~k
+2|x_(k+1)-x_(k+2)|
>=ΣΣ|x_i'-x_j'|;i,j=1~k (因為n=k成立)
+2Σ|x_i'|;i=1~k
+2Σ|x_j'|;j=1~k
+2|x_(k+1)-x_(k+2)|
=ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+1
+2Σ|x_j'|;j=1~k
+2|x_(k+1)-x_(k+2)|
=ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+2
=左式
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