Re: [代數] 不等式證明

我舉例說明清楚。 首先還是要用到這個結果： 設P(x)是n次實係數多項式，若P(x)的根都是實數，則P'(x)的根也都是實數。 事實上，若P的n個根都>=0，則P'的(n-1)個根也都>=0 (證明方法一樣) 以下就舉一個「中間項」的例子 例：設a,b,c,d>=0，則 { (ab+bc+ca+ad+bd+cd)/6 }^(1/2) >= {(abc+acd+abd+bcd)/4}^(1/3) 考慮以a,b,c,d為4根之首1多項式 P，則P'之3根u,v,w>=0 且由根與係數關係，注意到P'首項係數為4 ab+bc+cd+ad+bd+cd = P之2次項係數 = P'之1次項係數/2 = 2(uv+vw+uw) abc+acd+abd+bcd = -P之1次項係數 = -P'之常數項 = 4uvw 故原不等式等價於 {2(uv+vw+uw)/6}^(1/2) >= {4uvw/4}^(1/3) 即 {(uv+vw+uw)/3}^(1/2) >= {uvw}^(1/3) 此時已成功將4變數的情形轉為3變數的情形，次數不變，但右邊變成單項幾何平均。 採用倒根變換(注：uvw=0 時明顯成立) u'=1/u, v'=1/v, w'=1/w 則上述不等式又等價於 {uvw(u'+v'+w')/3}^(1/2) >= {uvw}^(1/3) 即 (u'+v'+w')/3 >= {u'v'w'}^(1/3)，變成標準的平均不等式，故得證。 ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言： : ※ 引述《Lanjaja ()》之銘言： : : 各位先進好， : : 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。 : : 題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n : : 試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n)/C(n,2)) : 推 TimcApple : wiki: Maclaurin's inequality 09/15 15:59 : 總之先證證看前面那條式子。 : 建構一個 P(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) : 把 P(x) 展開得到一個多項式，記為 x^n-Σ_1 x^{n-1}+Σ_2 x^{n-2}+...+(-1)^n Σ_n : 不難知道 Σ_1 = x_1+x_2+...+x_n 而 Σ_2 = x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n : 然後我們參考一下這個定理： : 設P(x)是n次實係數多項式，若P(x)的根都是實數，則P'(x)的根也都是實數。 : 證明請參照：https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1296297333.A.AC2.html : 顯然我們的 P(x) 是只有實根的多項式。 : 所以他的 n-2 階導函數 (n!/2!)x^2 - (n-1)!Σ_1 x + (n-2)!Σ_2 也只有實根， : 除以 n!/2! 後也不改變這件事。 : 所以 x^2 - (2Σ_1/n) x + Σ_2/C(n,2) = 0 有兩個實根。 : 其判別式非負，即 4Σ_1^2/n^2 - 4Σ_2/C(n,2) ≧ 0。 : 整理過後得到 Σ_1/n ≧ (Σ_2/C(n,2))^0.5，得證。 : 可是當我想要嘗試用三實根的判別式如法炮製的時候，會很卡。 : 雖然做得出來，但最後要看一個不是很好看的函數的最大值。 : （即使微分就完事，還是不好看。） : 總之嘗試著打出來看看怎麼證明 (Σ_2/C(n,2))^0.5 ≧ (Σ_3/C(n,3))^{1/3}。 : 為了方便起見，改用跟 wiki 一樣的記號表達：S_2^0.5 ≧ S_3^{1/3}。 : 首先，把之前做好的 P(x) 微分 n-3 次， : 可以知道 x^3-3S_1 x^2+3S_2 x-S_3 恰有三實根。 : 所以判別式非正，即 (-3S_1S_2/2+S_1^3+S_3/2)^2-(S_1^2-S_2)^3 ≦ 0。 : 針對 S_3 整理一下，並且只看 S_3 的上界： : S_3 ≦ 2(S_1^2-S_2)^1.5 - 2S_1^3 + 3S_1S_2 : ＝ S_2^1.5 * ( 2(k-1)^1.5 - 2k^1.5 + 3k^0.5 ) : 其中 k = S_1^2/S_2 ≧ 1。 : 然後研究一下 f(k) = 2(k-1)^1.5 - 2k^1.5 + 3k^0.5 : 從 f'(k) = 3(k-1)^0.5 - 3k^0.5 + 1.5/k^0.5 : = 3( 1/(2k^0.5) - 1/((k-1)^0.5+k^0.5) ) < 0 : 所以可以知道 f 遞減，最大值發生在 k=1，所以最大值 f(1)=1。 : 那麼 S_3 ≦ S_2^1.5 就證明出來了，最後整理一下即可。 : 可是這樣搞，後面的不等式會真的很不好做。 : 像是 S_4^0.25 ≦ S_3^{1/3} 之類的。 -- 代數幾何觀點！ Algebro-Geometrical Aspect! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.85.158.93 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1726911263.A.B3B.html